反三角函数如何求导
反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦arcsinx,反余弦arccosx,反正切arctanx,反余切arccotx,反正割arcsecx,反余割arccscx这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割,反余割为x的角。
反三角函数如何求导
反三角函数导数:(arcsinx)'=1/√(1-x2);(arccosx)'=-1/√(1-x2);(arctanx)'=1/(1+x2);(arccotx)'=-1/(1+x2)。
一,反三角函数导数公式
反正弦函数的求导:(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
反余弦函数的求导:(arccosx)'=-1/√(1-x^2)反正切函数的求导:(arctanx)'=1/(1+x^2)
反余切函数的求导:(arccotx)'=-1/(1+x^2)
二,反三角函数的求导过程
反正弦函数的求导过程:
y=arcsinx,
那么,siny=x,
求导得到,cosy*y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)?]=1/√(1-x2)
反余弦函数的求导:
(arccosx)'
=(π/2-arcsinx)'
=-(arcsinX)'
=-1/√(1-x^2)
反正切函数的求导:
y=arctanx,x=tany,
dx/dy=sec2y=tan2y+1,
dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan2y+1)=1/(1+x2)
以y=arcsinx为例,来求反三角函数的求导过程。
(根据函数与反函数的导数关系来证明)
设函数x=siny,y∈(-π/2,π/2),它的反函数记为为y=arcsinx,x∈(-1,1)函数f=sinx,x∈(-π/2,π/2)上单调,可导。x'=cosy≠0,y∈(-π/2,π/2)根据函数与反函数的导数关系
则(arcsinx)'=1/cosy
y∈(-π/2,π/2)时,cosy>0
所以
同理可以证明函数y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx的导数。
【补充】
函数与反函数的导数关系:
设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续,在点x处可导且f'(x)≠0,则其反函数在点x所对应的y处可导,并且有dx/dy=1/(dy/dx)
sin反函数求导过程
2反三角函数的导数推导过程
其实很简单,就是利用dy/dx=1/(dx/dy),然后进行相应的换元比如说,对于正弦函数y=sinx,都知道导数dy/dx=cosx那么dx/dy=1/cosx
而cosx=√(1-(sinx)^2)=√(1-y^2)
所以dx/dy=√(1-y^2)
y=sinx可知x=arcsiny,而dx/dy=1/√(1-y^2)
所以arcsiny的导数就是1/√(1-y^2)
为了好看点,再换下元arcsinx的导数就是1/V(1-x^2)反三角函数定义域
反正弦函数与反余弦函数的定义域是[-1,1],反正切函数和反余切函数的定义域是R,反正割函数和反余割函数的定义域是(-∞,-1]U[1,+∞)。
反三角函数定义域及值域
反正弦函数
正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]。
反余弦函数
余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1],值域[0,π]。
反三角函数的奇偶性总结
反正弦、反正切函数是奇函数,反余弦、反余切函数是非奇非偶函数。
y=arcsinx,定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2],奇函数,单调递增。
y=arccosx,定义域[-1,1],值域[0,π],非奇非偶函数,单调递减。
y=arctanx,定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),奇函数,单调递增。
y=arccotx,定义域(-∞,+∞),值域(0,π),非奇非偶函数,单调递减。
反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsinx,反余弦arccosx,反正切arctanx,反余切arccotx,反正割arcsecx,反余割arccscx这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割,反余割为x的角。
反三角函数主要是三个:
y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]图象用深红色线条。
y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],图象用深蓝色线条。
y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用浅绿色线条。
y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),暂无图象。
sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx。
证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得。
其他几个用类似方法可得:
cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx。
tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx。